Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-1)(X-p)/Reduktionsverhalten/Beispiel

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Wir betrachten die elliptische Kurve ${\displaystyle {}E}$, die durch die affine Gleichung

${\displaystyle {}Y^{2}=X(X-1)(X-p)=X^{3}-(p+1)X^{2}+pX\,}$

gegeben ist. In Charakteristik ${\displaystyle {}p}$ ist ${\displaystyle {}(0,0)}$ ein singulärer Punkt der Kurve, die Gleichung wird zu

${\displaystyle {}Y^{2}=X^{3}-X^{2}\,}$

bzw. zu

${\displaystyle {}X^{2}+Y^{2}-X^{3}=0\,.}$

Bei ${\displaystyle {}p\geq 3}$ gilt für den quadratischen Term

${\displaystyle {}X^{2}+Y^{2}={\left(X+{\mathrm {i} }Y\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }Y\right)}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }\in {\overline {\mathbb {Z} /(p)}}}$ eine Quadratwurzel aus ${\displaystyle {}-1}$ sei. Diese beiden lineare Terme sind verschieden und beschreiben die verschiedenen Tangenten, es liegt also multiplikative Reduktion vor. Das Spaltungsverhalten hängt davon ab, ob die ${\displaystyle {}-1}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ eine Quadratwurzel besitzt oder erst in einer endlichen Erweiterung (und zwar dann in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p^{2}}}$). Nach Fakt besitzt ${\displaystyle {}-1}$ eine Quadratwurzel in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}p=1\mod 4}$ ist. Unter dieser Bedingung liegt also modulo ${\displaystyle {}p}$ spaltender multiplikativer Typ vor und andernfalls nichtspaltender multiplikativer Typ.