Elliptische Kurve/Zerlegt mit Quadratwurzeln/Halbierungspunkt/Nachweis/Aufgabe

Es sei

${\displaystyle {}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,}$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${\displaystyle {}E}$ in Zerlegungsform über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ mit ${\displaystyle {}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K}$. Es gelte ${\displaystyle {}-\lambda _{i}=\mu _{i}^{2}}$. Zeige, dass mit

${\displaystyle {}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,}$

und

${\displaystyle {}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,}$

die Verdoppelungsgleichung ${\displaystyle {}2(w,z)=(0,\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3})}$ gilt.