Endliche Gruppe/Konjugationsklassen/Standgruppe und Anzahl/Fakt/Beweis

(1). Es ist klar, dass das neutrale Element zu ${\displaystyle {}G_{a}}$ gehört. Es seien ${\displaystyle {}x,y\in G_{a}}$. Dann ist

${\displaystyle {}xya(xy)^{-1}=xyay^{-1}x^{-1}=xax^{-1}=a\,,}$

also ${\displaystyle {}xy\in G_{a}}$. Bei ${\displaystyle {}x\in G_{a}}$ ist ${\displaystyle {}xax^{-1}=a}$, was man direkt zu ${\displaystyle {}a=x^{-1}ax}$ auflösen kann, was wiederum ${\displaystyle {}x^{-1}\in G_{a}}$ bedeutet.
(2). Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle G\longrightarrow K,\,x\longmapsto xax^{-1}.}$

Da ${\displaystyle {}K}$ genau aus allen zu ${\displaystyle {}a}$ konjugierten Elementen besteht, ist diese Abbildung surjektiv. Unter dieser Abbildung ist ${\displaystyle {}G_{a}}$ das Urbild von ${\displaystyle {}a}$. Es gilt ${\displaystyle {}xax^{-1}=yay^{-1}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}y^{-1}xax^{-1}y=a}$ ist, also genau dann, wenn ${\displaystyle {}y^{-1}x\in G_{a}}$ ist. Das bedeutet, dass die Fasern der Abbildung gerade die Linksnebenklassen zur Untergruppe ${\displaystyle {}G_{a}}$ sind. Daher ist ${\displaystyle {}{\#\left(K\right)}}$ gleich dem Index von ${\displaystyle {}G_{a}}$ in ${\displaystyle {}G}$.
(3) folgt aus (2) und Fakt.