Endliche Gruppe/Zugehörige Hopf-Algebra (kontravariant)/Beispiel

Es sei ${\displaystyle {}(G,1,\cdot )}$ eine endliche Gruppe und ${\displaystyle {}K}$ ein kommutativer Ring. Wir setzen

${\displaystyle {}H:=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\,}$

mit der Addition und Multiplikation von Abbildungen, die unabhängig von ${\displaystyle {}G}$ sind. Wir definieren auf ${\displaystyle {}H}$ eine Hopf-Algebrastruktur unter Verwendung der Gruppenstruktur. Die Gruppenmultiplikation

${\displaystyle \mu \colon G\times G\longrightarrow G}$

führt zur Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\otimes \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(G\times G,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \mu ,}$

wodurch wir die Komultiplikation

${\displaystyle \Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H}$

festlegen. Das Basiselement ${\displaystyle {}e_{\sigma }}$ zu ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ wird dabei auf

${\displaystyle {}\sum _{\tau \cdot \rho =\sigma }e_{\tau }\otimes e_{\rho }=\sum _{\tau }e_{\tau }\otimes e_{\tau ^{-1}\cdot \sigma }\,}$

abgebildet. Das neutrale Element ${\displaystyle {}1\in G}$ induziert die Auswertungsabbildung

${\displaystyle \epsilon \colon H=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow K,\,f\longmapsto f(1),}$

und die Inversenbildung

${\displaystyle \operatorname {inv} \colon G\longrightarrow G,\,\sigma \longmapsto \sigma ^{-1},}$

führt zu

${\displaystyle S\colon \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \operatorname {inv} ,}$

wobei das Basiselement ${\displaystyle {}e_{\sigma }}$ auf ${\displaystyle {}e_{\sigma ^{-1}}}$ abgebildet wird. Die Abbildungen ${\displaystyle {}\Delta ,\epsilon ,S}$ sind offenbar ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismen. Die Gruppenaxiome kann man durch die Kommutativität geeigneter Diagramme ausdrücken. Wendet man auf diese den Funktor ${\displaystyle {}\operatorname {Abb} \,{\left(-,K\right)}}$ in Zusammenhang mit geeigneten Identifizierungen an, so erhält man die Kommutativität der Diagramme in der Definition einer Hopf-Algebra.