Endliche Körper/F125/Frobenius/Matrix/Aufgabe/Lösung

Das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}+X+1\in \mathbb {Z} /(5)[X]}$ ist irreduzibel, da es Grad ${\displaystyle {}3}$ hat und in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$ keine Nullstelle besitzt. Daher ist

${\displaystyle L=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{3}+X+1)}$

ein Körper mit ${\displaystyle {}125}$ Elementen, und die Restklassen von ${\displaystyle {}1,X,X^{2}}$ (die wir mit ${\displaystyle 1,x,x^{2}}$ bezeichnen) bilden eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$. Wir beschreiben den Frobenius bezüglich dieser Basis unter Verwendung von ${\displaystyle {}x^{3}=-x-1}$. Es ist

${\displaystyle 1^{5}=1,}$

${\displaystyle {}x^{5}=x^{2}(-x-1)=-x^{3}-x^{2}=-x^{2}+x+1=4x^{2}+x+1\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(x^{2})^{5}&=x^{10}\\&=(-x^{2}+x+1)^{2}\\&=x^{4}+x^{2}+1-2x^{3}-2x^{2}+2x\\&=x(-x-1)-2(-x-1)-x^{2}+2x+1\\&=-x^{2}-x+2x+2-x^{2}+2x+1\\&=-2x^{2}+3x+3\\&=3x^{2}+3x+3.\end{aligned}}}$

In den Spalten der beschreibenden Matrix stehen die Koeffizienten der Bildvektoren bezüglich der Basis, also ist die Matrix gleich

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&3\\0&1&3\\0&4&3\end{pmatrix}}.}$