Endliche Körper/F25/Frobenius/Matrix/Aufgabe/Lösung

Wegen ${\displaystyle {}1^{2}=(-1)^{2}=1}$ und ${\displaystyle {}2^{2}=3^{2}=4}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{5}=\mathbb {Z} /(5)}$ ist ${\displaystyle {}X^{2}-2}$ irreduzibel über ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{5}}$. Daher ist ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{25}=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2}-2)}$. Wir betrachten den Frobeniushomomorphismus bezüglich der Basis ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}x}$ (${\displaystyle {}x}$ sei die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$). Dabei ist ${\displaystyle {}1^{5}=1}$ und

${\displaystyle {}x^{5}=x^{2}\cdot x^{2}\cdot x=2\cdot 2\cdot x=4x\,.}$

Also ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}}}$