Endliche Körpererweiterung/Endliche Galoisgruppe/Fakt/Beweis

Die Körpererweiterung besitzt ein endliches ${\displaystyle {}K}$-Algebraerzeugendensystem, also ${\displaystyle {}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$. Nach Fakt ist ein ${\displaystyle {}K}$-Algebraautomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon L\longrightarrow L}$

durch ${\displaystyle {}\varphi (x_{i})}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, eindeutig festgelegt. Da jedes ${\displaystyle {}x_{i}}$ nach Fakt algebraisch ist, gibt es Polynome

${\displaystyle {}F_{i}\neq 0\,}$

mit ${\displaystyle {}F_{i}(x_{i})=0}$. Nach Fakt ist auch ${\displaystyle {}F_{i}(\varphi (x_{i}))=0}$. Die Polynome ${\displaystyle {}F_{i}}$ besitzen aber nach Fakt jeweils nur endlich viele Nullstellen, sodass nur endlich viele Werte für ${\displaystyle {}\varphi (x_{i})}$ in Frage kommen.