Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einheitswurzeln/Nicht surjektiv/Aufgabe

Betrachte die endlichen Körpererweiterungen

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt[{3}]{1+{\mathrm {i} }}}]=K\,.}$

Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)}),\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )),}$

aus Fakt nicht surjektiv ist.