Endliche Körpererweiterung/Galoissch/Einheitswurzeln/Kern/Fixkörper/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$ eine endliche Galoiserweiterung und sei ${\displaystyle {}H}$ der Kern des Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)}),\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )),}$

aus Fakt. Zeige ${\displaystyle {}K^{H}=K_{n}}$, wobei ${\displaystyle {}n}$ die Anzahl der Einheitswurzeln in ${\displaystyle {}K}$ bezeichnet.