Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir setzen ${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}L=n}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{L}M=m}$. Es sei ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L}$ eine ${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{m}\in M}$ eine ${\displaystyle {}L}$-Basis von ${\displaystyle {}M}$. Wir behaupten, dass die Produkte

${\displaystyle x_{i}y_{j},1\leq i\leq n,1\leq j\leq m,}$

eine ${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}M}$

bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum ${\displaystyle {}M}$ über ${\displaystyle {}K}$ aufspannen. Es sei dazu ${\displaystyle {}z\in M}$. Wir schreiben

${\displaystyle z=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}{\text{ mit Koeffizienten }}b_{j}\in L.}$

Wir können jedes ${\displaystyle {}b_{j}}$ als

${\displaystyle {}b_{j}=a_{1j}x_{1}+\cdots +a_{nj}x_{n}}$ mit Koeffizienten ${\displaystyle {}a_{ij}\in K}$ ausdrücken. Das ergibt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}z&=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}\\&=(a_{11}x_{1}+\cdots +a_{n1}x_{n})y_{1}+\cdots +(a_{1m}x_{1}+\cdots +a_{nm}x_{n})y_{m}\\&=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}a_{ij}x_{i}y_{j}.\end{aligned}}}$

Daher ist ${\displaystyle {}z}$ eine ${\displaystyle {}K}$-Linearkombination der Produkte ${\displaystyle {}x_{i}y_{j}}$.
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

${\displaystyle 0=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}c_{ij}x_{i}y_{j}}$

angenommen mit ${\displaystyle {}c_{ij}\in K}$. Wir schreiben dies als ${\displaystyle {}0=\sum _{j=1}^{m}(\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i})y_{j}}$. Da die ${\displaystyle {}y_{j}}$ linear unabhängig über ${\displaystyle {}L}$ sind und die Koeffizienten der ${\displaystyle {}y_{j}}$ zu ${\displaystyle {}L}$ gehören folgt, dass ${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}=0}$ ist für jedes ${\displaystyle {}j}$. Da die ${\displaystyle {}x_{i}}$ linear unabhängig über ${\displaystyle {}K}$ sind und ${\displaystyle {}c_{ij}\in K}$ ist folgt, dass ${\displaystyle {}c_{ij}=0}$ ist für alle ${\displaystyle {}i,j}$.