Endliche Körpererweiterung/Normal und Zerfällungskörper/Fakt/Beweis

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ normal. Wegen der vorausgesetzten Endlichkeit ist ${\displaystyle {}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$. Zu ${\displaystyle {}x_{i}}$ sei ${\displaystyle {}F_{i}\in K[X]}$ das Minimalpolynom. Wegen der Normalität zerfällt jedes ${\displaystyle {}F_{i}}$ in ${\displaystyle {}L[X]}$ in Linearfaktoren. Daher ist ${\displaystyle {}L}$ der Zerfällungskörper des Produktes ${\displaystyle {}F=F_{1}\cdots F_{n}}$.
Es sei nun ${\displaystyle {}L=Z(F)}$ ein Zerfällungskörper, und sei ${\displaystyle {}F=(X-\alpha _{1})\cdots (X-\alpha _{n})}$ die Faktorzerlegung zu den Nullstellen ${\displaystyle {}\alpha _{i}\in L}$, die den Körper ${\displaystyle {}L}$ erzeugen. Wir werden das Kriterium Fakt  (4) anwenden. Es sei also ${\displaystyle {}L\subseteq M}$ eine Körpererweiterung und sei

${\displaystyle \varphi \colon L\longrightarrow M}$

ein ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus. Es ist dann

${\displaystyle {}F(\varphi (\alpha _{i}))=\varphi (F(\alpha _{i}))=0\,,}$

da sich die Koeffizienten von ${\displaystyle {}F}$ nicht ändern (vergleiche Fakt), und somit gehört ${\displaystyle {}\varphi (\alpha _{i})}$ zur Nullstellenmenge ${\displaystyle {}\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}}$ und damit insbesondere zu ${\displaystyle {}L}$. Daher gilt generell ${\displaystyle {}\varphi (L)\subseteq L}$.