Endliche Menge/Eins dazu/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Wenn ${\displaystyle {}M}$ leer ist, so besteht die Vereinigungsmenge ${\displaystyle {}M\cup \{w\}}$ nur aus dem einzigen Element ${\displaystyle {}w}$ und steht somit in Bijektion zu ${\displaystyle {}\{1\}}$. Allgemein liegt eine bijektive Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M}$

vor. Wir definieren eine Abbildung

${\displaystyle \psi \colon \{1,\ldots ,n,n'\}\longrightarrow M\cup \{w\}}$

durch

${\displaystyle {}\psi (k):={\begin{cases}\varphi (k),{\text{ falls }}k\in \{1,\ldots ,n\}\\w,{\text{ falls }}k=n'\,.\end{cases}}\,}$

Dies ist wohldefiniert. Die Abbildung ist surjektiv, da alle Elemente aus ${\displaystyle {}M}$ durch Elemente aus ${\displaystyle {}\{1,\ldots ,n\}}$ getroffen werden und da ${\displaystyle {}w}$ durch ${\displaystyle {}n'}$ getroffen wird. Die Abbildung ist auch injektiv. Wenn nämlich ${\displaystyle {}j\neq k}$ aus der Definitionsmenge sind, so ist, wenn beide zu ${\displaystyle {}\{1,\ldots ,n\}}$ gehören, direkt

${\displaystyle {}\psi (j)=\varphi (j)\neq \varphi (k)=\psi (k)\,.}$

Wenn hingegen ${\displaystyle {}k=n'}$ ist, so ist ${\displaystyle {}\psi (j)\in M}$ und

${\displaystyle {}\psi (n')=w\neq \psi (j)\,.}$