Endlicher Basiskörper/Algebra/Frobenius/Wirkungsweise auf K-Punkten/Fakt

${\displaystyle F^{e}\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{q},}$

in folgender Weise.

1. Für einen ${\displaystyle {}L}$-rationalen Punkt

   ${\displaystyle \psi \colon R\longrightarrow L}$

   ist

   ${\displaystyle {}(F^{e})^{*}(\psi )=\psi \circ F^{e}=F^{e}\circ \psi \,,}$

   wobei das letzte ${\displaystyle {}F^{e}}$ den ${\displaystyle {}e}$-ten Frobenius auf ${\displaystyle {}L}$ bezeichnet.

2. Für einen ${\displaystyle {}L}$-rationalen Punkt

   ${\displaystyle \psi \colon R\longrightarrow L}$

   ist

   ${\displaystyle {}\operatorname {kern} \left((F^{e})^{*}(\psi )\right)=\operatorname {kern} \psi \,.}$

3. Für einen ${\displaystyle {}K}$-rationalen Punkt

   ${\displaystyle \psi \colon R\longrightarrow K}$

   ist

   ${\displaystyle {}(F^{e})^{*}(\psi )=\psi \,.}$

4. Für ${\displaystyle {}K\neq L}$ und ${\displaystyle {}\psi \colon R\rightarrow L}$ surjektiv ist

   ${\displaystyle {}(F^{e})^{*}(\psi )\neq \psi \,.}$