Endlicher Basiskörper/Restklassenalgebra/Frobenius/Lineare Fortsetzung/Beispiel

Es sei ${\displaystyle {}K={\mathbb {F} }_{q}}$, ${\displaystyle {}q=p^{e}}$, ein endlicher Körper und sei ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}}$ eine endlich erzeugte ${\displaystyle {}K}$-Algebra Dann ist die ${\displaystyle {}{\overline {K}}}$-lineare Fortsetzung von ${\displaystyle {}F^{em}}$ gleich

${\displaystyle {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}},\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q^{m}}.}$

Diese Abbildung ist wohldefiniert, da mit ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$ auch ${\displaystyle {}f^{q}=f\cdot f^{q-1}\in {\mathfrak {a}}}$ ist. Wegen ${\displaystyle {}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ stimmt für ${\displaystyle {}f}$ der ${\displaystyle {}e}$-te Frobenius mit dem linear fortgesetzten Frobenius überein.