Endlicher Körper/Algebra/Frobenius/Basiswechsel/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein endlicher Körper mit ${\displaystyle {}q=p^{e}}$ Elementen und sei ${\displaystyle {}A}$ eine ${\displaystyle {}K}$-Algebra mit dem ${\displaystyle {}e}$-ten Frobeniushomomorphismus

${\displaystyle F^{e}\colon A\longrightarrow A.}$

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass

${\displaystyle F^{e}\otimes _{K}L\colon A\otimes \operatorname {Id} _{L}\longrightarrow A\otimes _{K}L}$

im Allgemeinen nicht der ${\displaystyle {}e}$-te Frobenius auf ${\displaystyle {}A\otimes _{K}L}$ ist.