Endlicher Körper/Endlicher Vektorraum/Aufgabe/Lösung

a) Da es eine Basis ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{d}}$ gibt, ist ${\displaystyle {}V}$ isomorph zu ${\displaystyle {}K^{d}}$. Dieser Raum besteht aus allen ${\displaystyle {}d}$-Tupeln und besitzt damit ${\displaystyle {}q^{d}}$ Elemente.

b) Wenn ${\displaystyle {}V}$ endlichdimensional ist, so folgt die Endlichkeit der Menge ${\displaystyle {}V}$ direkt aus a). Wenn ${\displaystyle {}V}$ endlich ist, so kann man ganz ${\displaystyle {}V}$ als endliches Erzeugendensystem wählen. Eine Teilmenge davon bildet eine endliche Basis. Also ist ${\displaystyle {}V}$ endlichdimensional.

c) Wir überlegen uns, auf wie viele Arten wir eine Basis ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{d}}$ zusammenstellen können. Damit müssen wir nur beachten, dass ${\displaystyle {}v_{i+1}}$ jeweils nicht im dem von den ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{i}}$ erzeugten Untervektorraum liegt. Durch diese Bedingung besitzt dieser Untervektorraum insbesondere ${\displaystyle {}q^{i}}$ Elemente. Das bedeutet, dass man für ${\displaystyle {}v_{i+1}}$ genau ${\displaystyle {}q^{d}-q^{i}}$ Auswahlmöglichkeiten hat. Daher gibt es insgesamt

${\displaystyle {}(q^{d}-1)(q^{d}-q)(q^{d}-q^{2})\cdots (q^{d}-q^{d-2})(q^{d}-q^{d-1})=q^{\frac {d(d-1)}{2}}(q^{d}-1)(q^{d-1}-1)(q^{d-2}-1)\cdots (q^{2}-1)(q-1)\,}$