Endlicher Körper über Primkörper/Galois/Verschiedene Beweise/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}q=p^{e}}$, ${\displaystyle {}e\geq 1}$, eine Primzahlpotenz. Beweise mit Hilfe der verschiedenen äquivalenten Eigenschaften aus Fakt, dass die Körpererweiterung ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}}$ galoissch ist.