Endlicher Ringhomomorphismus/Injektiv/Nilpotente Erweiterung/Idealschnitt/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass ${\displaystyle {}R\subseteq R[X]/{\left(X^{2}\right)}=:S}$ eine endliche Ringerweiterung ist und dass die Restklasse ${\displaystyle {}[X]\in S}$ nicht ${\displaystyle {}0}$ ist, dass aber ${\displaystyle {}R\cap ([X])}$ das Nullideal ist.