Endlicher metrischer Raum/Euklidische Realisierung/Aufgabe/Lösung

a) Wir betrachten den Teilraum ${\displaystyle {}M\{0,(1,0),(0,1)\}\subset }$ mit der induzierten Metrik. Dieser metrische Raum ${\displaystyle {}M}$ ist nicht innerhalb der reellen Zahlen realisierbar. Der Nullpunkt hat zu den beiden anderen Punkten den Abstand ${\displaystyle {}1}$, und diese haben zueinander den Abstand ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}}$. In ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ gibt es zu jedem Punkt ${\displaystyle {}P}$ genau zwei Punkte mit dem Abstand ${\displaystyle {}1}$ nämlich ${\displaystyle {}P-1}$ bzw ${\displaystyle {}P+1}$, und diese haben aber zueinander den Abstand ${\displaystyle {}2}$.

b) Wir betrachten im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ die folgende endliche Teilmenge: Es seien ${\displaystyle {}P,Q}$ zwei Punkte im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$, die zueinander den Abstand ${\displaystyle {}1}$ besitzen. Wir betrachten die Sphären um diese beiden Kugeln mit dem Radius ${\displaystyle {}{\frac {2}{3}}}$, also ${\displaystyle {}S_{1}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid d(x,P)={\frac {2}{3}}\right\}}}$ und ${\displaystyle {}S_{2}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid d(x,Q)={\frac {2}{3}}\right\}}}$. Der Durchschnitt ${\displaystyle {}S_{1}\cap S_{2}}$ ist eine Kreislinie ${\displaystyle {}K}$. Es seien ${\displaystyle {}R_{1},R_{2},R_{3}}$ drei Punkte auf ${\displaystyle {}K}$ und wir betrachten die Teilmenge

${\displaystyle {}N=\{P,Q,R_{1},R_{2},R_{3}\}\,}$

mit der induzierten Metrik. Diese Menge ist nicht im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ realisierbar, da es dort zu zwei Punkten mit dem Abstand ${\displaystyle {}1}$ nur zwei Punkte gibt, die zu beiden Punkten den Abstand ${\displaystyle {}{\frac {2}{3}}}$ haben.