Endomorphismus/Adjungiert/Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein Untervektorraum mit der orthogonalen Projektion

${\displaystyle p_{U}\colon V\longrightarrow U.}$

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

eine lineare Abbildung und sei ${\displaystyle {}{\hat {\varphi }}}$ der zugehörige adjungierte Endomorphismus. Zeige die Beziehung

${\displaystyle {}p_{U}\circ {\hat {\varphi }}{|}_{U}={\left(p_{U}\circ \varphi {|}_{U}\right)}^{\hat {}}\,.}$