Endomorphismus/Nilpotent/Determinante/Aufgabe/Lösung

Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler Vektorraum über ${\displaystyle K}$. Gesucht ist die Determinante der nilpotenten Abbildung ${\displaystyle \varphi \in \mathrm {End} (V,V)}$.

Ist ${\displaystyle A}$ die darstellende Matrix von ${\displaystyle \varphi }$ bezüglich einer beliebigen Basis von ${\displaystyle V}$, so gilt aufgrund der Nilpotenz von ${\displaystyle \varphi }$, dass ein ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ existiert mit ${\displaystyle A^{k}=0_{n\times n}}$.

Daraus folgt: ${\displaystyle 0=\det(0_{n\times n})=\det(A^{k})=(\det A)^{k}}$.

Da ${\displaystyle K}$ ein Körper ist und somit keine Nullteiler enthält, folgt zwingend ${\displaystyle \det A=0}$.

Warum ist die Basis beliebig wählbar?

Für zwei beliebige Basen existieren Transformationsmatrizen ${\displaystyle S,T\in \mathrm {GL} (n)}$, sodass ${\displaystyle B=S\cdot A\cdot T}$ die darstellende Matrix von ${\displaystyle \varphi }$ in einer anderen Basis ist. Durch die Rückführung von ${\displaystyle B}$ auf ${\displaystyle A}$ mittels der Transformationsmatrizen ergibt sich, dass ${\displaystyle \det A=\det B=0}$ gilt.