Euklidische Halbebene/Ein Randpunkt auf Randpunkt/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die positive Halbebene

${\displaystyle {}H={\left\{(x,y)\mid x\geq 0\right\}}\,}$

und die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon H\longrightarrow H,\,(x,y)\longmapsto \left(x+y^{2},\,y\right).}$

Als polynomiale Abbildung ist ${\displaystyle {}\varphi }$ stetig differenzierbar. Der Randpunkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ wird auf den Randpunkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ abgebildet. Bei allen anderen Punkten von ${\displaystyle {}H}$ ist ${\displaystyle {}x>0}$ oder ${\displaystyle {}y\neq 0}$ und daher stets

${\displaystyle {}x+y^{2}>0\,,}$