Euklidischer Bereich/Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es eine Darstellung

${\displaystyle {}{\frac {f}{g}}={\frac {a_{1}}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {a_{2}}{p_{2}^{r_{2}}}}+\cdots +{\frac {a_{k}}{p_{k}^{r_{k}}}}\,.}$

Auf die Zähler der einzelnen Summanden wenden wir die Division mit Rest durch ${\displaystyle {}p_{j}^{r_{j}}}$ an und erhalten

${\displaystyle {}{\frac {a_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}=b_{j}+{\frac {a'_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}\,}$

mit

${\displaystyle {}\delta {\left(a'_{j}\right)}<\delta {\left(p_{j}^{r_{j}}\right)}\,.}$

Ferner kann man auf ${\displaystyle {}a_{j}}$ auch die Division mit Rest durch ${\displaystyle {}p_{j}}$ anwenden und erhält

${\displaystyle {}{\frac {a_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}={\frac {c_{j}p+t}{p_{j}^{r_{j}}}}={\frac {c_{j}}{p_{j}^{r_{j}-1}}}+{\frac {t}{p_{j}^{r_{j}}}}\,}$

mit

${\displaystyle {}\delta (t)<\delta (p)\,.}$

Den vorderen Summanden kann man in dieser Weise weiter abarbeiten.