Extrema/-3x^2+2xy-7y^2+x/Aufgabe/Lösung

Die partiellen Ableitungen der Funktion ${\displaystyle {}f}$ sind

${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-6x+2y+1\,}$

und

${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial y}}=2x-14y\,.}$

Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient ${\displaystyle {}0}$ ist. Aus

${\displaystyle -6x+2y+1=0\,\,{\text{ und }}\,\,2x-14y=0}$

folgt sofort

${\displaystyle -40y+1=0,}$

also ${\displaystyle {}y={\frac {1}{40}}}$ und daraus

${\displaystyle x={\frac {7}{40}}.}$

Es kann also allenfalls im Punkt

${\displaystyle {}P=\left({\frac {7}{40}},\,{\frac {1}{40}}\right)\,}$

ein lokales Extremum vorliegen.

Die Hesse-Matrix der Funktion ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-6&2\\2&-14\end{pmatrix}}.}$

Der Eintrag links oben ist also negativ und die Determinante ist positiv. Daher ist die Hesse-Matrix negativ definit und somit liegt in ${\displaystyle {}P}$ ein lokales Maximum vor. Da es sonst kein weiteres lokales Extremum gibt, ist dieses Maximum isoliert und global.