Extrema/Linearform/3x-2y+5z/x^2+y^2+z^4/Beispiel

Wir betrachten die Linearform

${\displaystyle {}h(x,y,z)=3x-2y+5z\,}$

auf der Menge

${\displaystyle {}M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{4}=1\right\}}\,.}$

Die Lagrange-Bedingung wird zu

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}2x\\2y\\4z^{3}\end{pmatrix}}\,.}$

Dies führt auf ${\displaystyle {}x\neq 0}$ und

${\displaystyle {}\lambda ={\frac {3}{2x}}\,.}$

Damit ist

${\displaystyle {}y=-{\frac {1}{\lambda }}=-{\frac {2x}{3}}\,}$

und

${\displaystyle {}z={\sqrt[{3}]{\frac {5}{4\lambda }}}={\sqrt[{3}]{{\frac {5}{6}}x}}\,.}$

Dies führt insgesamt zur Bedingung

${\displaystyle {}x^{2}+{\frac {4}{9}}x^{2}+{\frac {5}{6}}x{\sqrt[{3}]{{\frac {5}{6}}x}}=1\,,}$

die nach dem Zwischenwertsatz mindestens zwei Lösungen hat, die allerdings nicht so einfach explizit anzugeben sind.