Extrema/x^3-y^3/Kreis/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial x}}=3x^{2}\,}$

und

${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial y}}=-3y^{2}\,.}$

Diese beiden Funktionen sind nur im Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ gleich ${\displaystyle {}0}$, also ist ${\displaystyle {}(0,0)}$ der einzige kritische Punkt.

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right),}$

parametrisiert, und ${\displaystyle {}g}$ besitzt ein lokales Extremum in einem Punkt ${\displaystyle {}P=\left(\cos t,\,\sin t\right)\in S^{1}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}h=g\circ \varphi }$ ein lokales Extremum in ${\displaystyle {}t}$ besitzt. Die zusammengesetzte Funktion ist

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \cos ^{3}t-\sin ^{3}t.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}h'(t)&=-3\cos ^{2}t\sin t-3\sin ^{2}t\cos t\\&=-3\cos t\sin t{\left(\cos t+\sin t\right)}.\end{aligned}}}$

Die Nullstellen hiervon sind (wir beschränken uns auf das Intervall ${\displaystyle {}[0,2\pi [}$, und betrachten die drei Faktoren) ${\displaystyle {}t=0,{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{4}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}},{\frac {7\pi }{4}}}$. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}h^{\prime \prime }(t)&=6\cos t\sin ^{2}t-3\cos ^{3}t-6\cos ^{2}t\sin t+3\sin ^{3}t\\\end{aligned}}}$

Daher ist

${\displaystyle {}h^{\prime \prime }(0)=-3<0\,,}$

${\displaystyle {}h^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=3>0\,,}$

${\displaystyle {}h^{\prime \prime }{\left({\frac {3\pi }{4}}\right)}=-6\sin ^{3}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)<0\,,}$

${\displaystyle {}h^{\prime \prime }(\pi )=3>0\,,}$

${\displaystyle {}h^{\prime \prime }{\left({\frac {3\pi }{2}}\right)}=-3<0\,,}$

${\displaystyle {}h^{\prime \prime }{\left({\frac {7\pi }{4}}\right)}=-6\sin ^{3}\left({\frac {7\pi }{4}}\right)>0\,.}$

Somit liegt in ${\displaystyle {}t=0}$ ein lokales Maximum und dann abwechselnd lokale Minima und Maxima vor.