Fünfter Kreisteilungsring/Unterring/2 Einheitswurzel/Gruppenoperation/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}y=2\zeta }$

${\displaystyle {}4\zeta ^{2},8\zeta ^{3},16\zeta ^{4}}$

${\displaystyle {}S}$

${\displaystyle {}y^{4}+2y^{3}+4y^{2}+8y+16=16{\left(\zeta ^{4}+\zeta ^{3}+\zeta ^{2}+\zeta +1\right)}=0\,.}$

Da ${\displaystyle {}1,y,y^{2},y^{3}}$ linear unabhängig über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ sind, handelt es sich um das Minimalpolynom. Also gilt

${\displaystyle {}S=\mathbb {Z} [y]/{\left(y^{4}+2y^{3}+4y^{2}+8y+16\right)}\,.}$

${\displaystyle {}S\cap \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]=\mathbb {Z} [8\zeta ^{2}+8\zeta ^{3}]\,.}$

Dabei ist die Inklusion ${\displaystyle {}\supseteq }$ klar. Sei ${\displaystyle {}f=a\zeta +b\zeta ^{2}+c\zeta ^{3}+d\zeta ^{4}\in S\cap \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]}$. Das Element ${\displaystyle {}f}$ gehört zum Unterring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}a=d}$ und ${\displaystyle {}b=c}$ gilt, da diese Bedingungen die Invarianz unter dem Automorphismus ${\displaystyle {}\zeta \mapsto \zeta ^{-1}=\zeta ^{4}}$ ausdrücken. Wir schreiben

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f&=a\zeta +b\zeta ^{2}+b\zeta ^{3}+a\zeta ^{4}\\&=(a\zeta +a\zeta ^{2}+a\zeta ^{3}+a\zeta ^{4})+(b-a)\zeta ^{2}+(b-a)\zeta ^{3}.\end{aligned}}}$

Der linke Summand gehört zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$, daher gehört ${\displaystyle {}f}$ genau dann zu ${\displaystyle {}S}$, wenn der rechte Summand zu ${\displaystyle {}S}$ gehört. Daraus folgt aber, dass ${\displaystyle {}b-a}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}8}$ sein muss.