Fermat-Kubik/Normalform/Beispiel

Wir möchten die Fermat-Kubik

${\displaystyle {}X^{3}+Y^{3}+Z^{3}=0\,}$

in Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 2,3}$ auf die kurze Weierstraßform transformieren. Die Hesse-Matrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}6X&0&0\\0&6Y&0\\0&0&6Z\end{pmatrix}}.}$

Daher ist ${\displaystyle {}(0,1,-1)}$ ein Wendepunkt der Kurve, den wir nach ${\displaystyle {}(0,1,0)}$ transformieren wollen. Wir erreichen dies mit den neuen Variablen ${\displaystyle {}X=X,Y=Y,W=Y+Z}$. Die Gleichung wird zu

${\displaystyle {}X^{3}+Y^{3}+(W-Y)^{3}=X^{3}+W^{3}-3W^{2}Y+3WY^{2}=0\,.}$

Die (projektive) Tangente in ${\displaystyle {}(0,1,0)}$ wird durch ${\displaystyle {}W=0}$ beschrieben. Die Dehomogenisierung bezüglich ${\displaystyle {}W}$ führt auf die affine Gleichung

${\displaystyle {}x^{3}=1-3y+3y^{2}\,,}$

durch eine quadratische Ergänzung und Normierung entsteht eine Gleichung der Form

${\displaystyle {}{\tilde {y}}^{2}=x^{3}+b\,}$

mit ${\displaystyle {}b\neq 0}$, was man wiederum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper zu ${\displaystyle {}1}$ normieren kann.