Funktion/1+ln x -1 durch x/Bijektion/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1+\ln x-{\frac {1}{x}}.}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ eine stetige Bijektion zwischen ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}}$ und ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ definiert.

b) Bestimme das Urbild ${\displaystyle {}u}$ von ${\displaystyle {}0}$ unter ${\displaystyle {}f}$ sowie ${\displaystyle {}f'(u)}$ und ${\displaystyle {}(f^{-1})'(0)}$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion ${\displaystyle {}f^{-1}}$ an.