Funktion/Minimum/2^x+(1/2)^x/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f(x)&=2^{x}+2^{-x}\\&=e^{x\ln 2}+e^{-x\ln 2}.\end{aligned}}}$

Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist

${\displaystyle {}f'(x)=(\ln 2)e^{x\ln 2}-(\ln 2)e^{-x\ln 2}\,.}$

Die Bedingung ${\displaystyle {}f'(x)=0}$ führt durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}e^{x\ln 2}}$ und Division durch ${\displaystyle {}\ln 2}$ (die beide nicht ${\displaystyle {}0}$ sind) auf

${\displaystyle {}0=e^{2x\ln 2}-1\,.}$

Daher muss

${\displaystyle {}e^{2x\ln 2}=1\,}$

sein, woraus sich

${\displaystyle {}2x\ln 2=0\,,}$

also ${\displaystyle {}x=0}$ ergibt. Die zweite Ableitung ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=(\ln 2){\left((\ln 2)e^{x\ln 2}+(\ln 2)e^{-x\ln 2}\right)}\\\end{aligned}}}$

und somit positiv, also liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum vor. Da die Ableitung keine weitere Nullstelle hat, ist dieses Minimum das einzige Minimum und daher ein globales Minimum und es gibt keine Maxima.