Funktion/Zweifache äußere Ableitung/0/Fakt/Beweis

Für eine ${\displaystyle {}1}$-Form ${\displaystyle {}\omega =\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}}$ ist unter Verwendung von ${\displaystyle {}dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d(g_{j}dx_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\wedge dx_{j}\right)}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}}$

Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ${\displaystyle {}f}$ ist ${\displaystyle {}df=\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}}$ mit den partiellen Ableitungen ${\displaystyle {}g_{j}={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$, und daher ist ${\displaystyle {}d(df)=0}$ nach dem Satz von Schwarz.