Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

Ein Gebiet ist eine zusammenhängende offene Teilmenge ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ .
Für ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

die Sinusreihe zu ${}z$ .
Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.
Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in U$ ein Punkt und
$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sagt man, dass ${}f$ eine isolierte Singularität im Punkt ${}a$ besitzt.
Zu einer meromorphen Funktion auf ${}U$ mit der Laurent-Entwicklung ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ nennt man ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}(z-P)^{n}=\sum _{n=k}^{-1}c_{n}(z-P)^{n}$ den Hauptteil der Funktion in ${}P$ .
Man nennt
${}\operatorname {ind} _{\gamma }(a)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-a}}\,$

die Windungszahl von ${}\gamma$ um ${}a$ .