Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}P,Q\in {\mathbb {C} }[X]}$

${\displaystyle {}Q\neq 0}$

${\displaystyle Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}}$

mit verschiedenen ${\displaystyle {}a_{i}\in {\mathbb {C} }}$. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom ${\displaystyle {}H\in {\mathbb {C} }[X]}$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten ${\displaystyle {}c_{ij}\in {\mathbb {C} }}$, ${\displaystyle {}1\leq i\leq s}$, ${\displaystyle {}1\leq j\leq r_{i}}$, mit

${\displaystyle {\frac {P}{Q}}=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}.}$

${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$

${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }}$

${\displaystyle {}B\left(P,r\right)\subseteq U}$

${\displaystyle \gamma \colon I\longrightarrow B}$

der stetige Weg, der den Rand von ${\displaystyle {}B}$ gleichmäßig durchläuft.

Dann ist

${\displaystyle {}0\leq r<R}$

${\displaystyle {}R}$

${\displaystyle {}\infty }$

${\displaystyle {}a\in {\mathbb {C} }}$

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}U=U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.}$

Dann gibt es eine auf ${\displaystyle {}U}$ konvergente Laurent-Reihe ${\displaystyle {}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-a)^{n}}$, die dort ${\displaystyle {}f}$ darstellt.

Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt

${\displaystyle {}c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,,}$

${\displaystyle {}\gamma }$

${\displaystyle {}a}$

${\displaystyle {}U}$