Galoiskorrespondenz/Erzeugte Untergruppe/Körperdurchschnitt/Aufgabe/Lösung

Es sei zuerst ${\displaystyle {}x\in \operatorname {Fix} \,(H)}$. Wegen ${\displaystyle {}H_{1},H_{2}\subseteq H}$ ist insbesondere ${\displaystyle {}x\in \operatorname {Fix} \,(H_{1})}$ und ${\displaystyle {}x\in \operatorname {Fix} \,(H_{2})}$, also auch ${\displaystyle {}x\in \operatorname {Fix} \,(H_{1})\cap \operatorname {Fix} \,(H_{2})=K_{1}\cap K_{2}}$.

Aufgrund der Galoiskorrespondenz können wir die andere Inklusion ${\displaystyle {}K_{1}\cap K_{2}\subseteq \operatorname {Fix} \,(H)}$ dadurch zeigen, dass wir die umgekehrte Inklusion der Galoisgruppen nachweisen. D.h. wir müssen ${\displaystyle {}H\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K_{1}\cap K_{2})}$ zeigen. Da rechts eine Gruppe steht und ${\displaystyle {}H}$ die von ${\displaystyle {}H_{1}}$ und ${\displaystyle {}H_{2}}$ erzeugte Untergruppe ist, müssen wir lediglich ${\displaystyle {}H_{1},H_{2}\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K_{1}\cap K_{2})}$ zeigen. Wegen ${\displaystyle {}K_{1}\cap K_{2}\subseteq K_{1}}$ ist aber ${\displaystyle {}H_{1}\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K_{1}\cap K_{2})}$

${\displaystyle {}H_{2}}$