Ganze Funktion/C/Bild dicht/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass das Bild von ${\displaystyle {}f}$ nicht dicht ist. Dann gibt es einen Punkt ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }}$ und ein ${\displaystyle {}r>0}$ derart, dass die offene Kreisscheibe ${\displaystyle {}U{\left(P,r\right)}}$ disjunkt zum Bild ist. Durch verschieben können wir ${\displaystyle {}P=0}$ erreichen, es ist dann

${\displaystyle {}\vert {f(z)}\vert \geq r\,}$

für alle ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$. Die Hintereinanderschaltung

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (f(z))^{-1},}$

ist ebenfalls holomorph und es gilt

${\displaystyle {}\vert {(f(z))^{-1}}\vert \leq {\frac {1}{r}}\,}$

für alle ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$, im Widerspruch zu