Ganzer Ringhomomorphismus/Going up/Fakt

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow S}$

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}_{0}\subseteq {\mathfrak {q}}_{1}}$ Primideale in ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{0}}$ ein Primideal in ${\displaystyle {}S}$ mit ${\displaystyle {}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}}$.

Dann gibt es ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{0}}$ in ${\displaystyle {}S}$ mit ${\displaystyle {}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})={\mathfrak {q}}_{1}}$.