Ganzheit/Polynomring/Ein normiertes Polynom/Beispiel

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und

${\displaystyle {}P=X^{n}+r_{n-1}X^{n-1}+\cdots +r_{2}X^{2}+r_{1}X+r_{0}\in R[X]\,}$

ein normiertes Polynom über ${\displaystyle {}R}$. Dann ist in der Ringerweiterung

${\displaystyle {}R\subseteq R[X]/(P)\,}$

die Restklasse ${\displaystyle {}x}$ von ${\displaystyle {}X}$ im Restklassenring ${\displaystyle {}S=R[X]/(P)}$ ganz über ${\displaystyle {}R}$, da ja ${\displaystyle {}P}$ unmittelbar die Ganzheitsgleichung

${\displaystyle {}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots +r_{2}x^{2}+r_{1}x+r_{0}=0\,}$

liefert.