Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Quadratformel/Fakt/Beweis

Die hintere Gleichung beruht auf Fakt. Nach Definition ist

${\displaystyle {}g=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}=\sum _{r=1}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}g^{2}&={\left(\sum _{r=1}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\right)}{\left(\sum _{s=1}^{p-1}\left({\frac {s}{p}}\right)\zeta ^{s}\right)}\\&=\sum _{1\leq r,s\leq p-1}\left({\frac {rs}{p}}\right)\zeta ^{r+s}.\end{aligned}}}$

Mit der neuen Variablen

${\displaystyle {}s=rt\,}$

können wir dies als

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{1\leq r,t\leq p-1}\left({\frac {rrt}{p}}\right)\zeta ^{r+rt}&=\sum _{1\leq r,t\leq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta ^{r(1+t)}\\&=\sum _{1\leq r,t\leq p-1,\,t\neq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta ^{r(1+t)}+\sum _{1\leq r\leq p-1}\left({\frac {-1}{p}}\right)\zeta ^{0}\\&=\sum _{1\leq r,t\leq p-1,\,t\neq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta ^{r(1+t)}+(p-1)\left({\frac {-1}{p}}\right).\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle {}t\neq -1}$, also ${\displaystyle {}t}$ zwischen ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}p-2}$, ist jedenfalls ${\displaystyle {}\xi =\zeta ^{1+t}}$ auch eine primitive ${\displaystyle {}p}$-te Einheitswurzel. Für ein solches fixiertes ${\displaystyle {}t}$ ist

${\displaystyle {}\sum _{1\leq r\leq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\xi ^{r}=\left({\frac {t}{p}}\right)\sum _{1\leq r\leq p-1}\xi ^{r}=-\left({\frac {t}{p}}\right)\,.}$

Die obige Summe ist also

${\displaystyle -\sum _{1\leq t\leq p-2}\left({\frac {t}{p}}\right)+(p-1)\left({\frac {-1}{p}}\right)=-\sum _{1\leq t\leq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)+p\left({\frac {-1}{p}}\right)=p\left({\frac {-1}{p}}\right)\,,}$

da es nach Fakt gleich viele Quadrate wie Nichtquadrate in ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }}$ gibt.