Gaußsche Zahlen/Euklidischer Bereich/Nicht eindeutig/Aufgabe/Lösung

Der Quotient ${\displaystyle {}{\frac {1+{\mathrm {i} }}{2}}}$ besitzt zu den vier Gaußschen Zahlen ${\displaystyle {}0,1,{\mathrm {i} },1+{\mathrm {i} }}$ den gleichen Abstand, gemäß dem Beweis zu Fakt kann man jede davon als Ausgangspunkt zur Division mit Rest nehmen. Dies führt auf die Darstellungen

${\displaystyle {}1+{\mathrm {i} }=0\cdot 2+{\left(1+{\mathrm {i} }\right)}\,}$

mit

${\displaystyle {}N{\left(1+{\mathrm {i} }\right)}=2<4=N(2)\,,}$

${\displaystyle {}1+{\mathrm {i} }=1\cdot 2+{\left(-1+{\mathrm {i} }\right)}\,}$

mit

${\displaystyle {}N{\left(-1+{\mathrm {i} }\right)}=2<N(2)\,,}$

${\displaystyle {}1+{\mathrm {i} }={\mathrm {i} }\cdot 2+{\left(1-{\mathrm {i} }\right)}\,}$

mit

${\displaystyle {}N{\left(1-{\mathrm {i} }\right)}=2<N(2)\,,}$

${\displaystyle {}1+{\mathrm {i} }={\left(1+{\mathrm {i} }\right)}\cdot 2+{\left(-1-{\mathrm {i} }\right)}\,}$

mit

${\displaystyle {}N{\left(-1-{\mathrm {i} }\right)}=2<N(2)\,.}$