Gaußsche Zahlen/Gitter/Untergitter/Restklassengruppe/Aufgabe

Wir betrachten im Ring der Gaußschen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\subset {\mathbb {C} }}$ das Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(1+2{\mathrm {i} })\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$.

a) Skizziere die Situation.

b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen) zum Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$.

c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.

d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?