Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt
Es sei
p
{\displaystyle {}p}
ein ungerade
Primzahl
.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
p
{\displaystyle {}p}
ist die Summe von zwei Quadraten,
p
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle {}p=x^{2}+y^{2}}
mit
x
,
y
∈
Z
{\displaystyle {}x,y\in \mathbb {Z} }
.
p
{\displaystyle {}p}
ist die
Norm
eines Elementes aus
Z
[
i
]
{\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}
.
p
{\displaystyle {}p}
ist zerlegbar (nicht prim) in
Z
[
i
]
{\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}
.
−
1
{\displaystyle {}-1}
ist ein Quadrat in
Z
/
(
p
)
{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}
.
Es ist
p
=
1
mod
4
{\displaystyle {}p=1\mod 4}
.
Zum Beweis
,
Alternativen Beweis erstellen
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}](../../../_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85a7b82444e46cc862c5f6049ef5771c5286c116.svg)
