Gaußsche Zahlen/Primzahlverhalten/Fakt

Die Primzahlen aus ${}\mathbb {Z}$ haben in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ folgendes Zerlegungsverhalten.

a) Es ist

${}2=-{\mathrm {i} }(1+{\mathrm {i} })^{2}\,,$

und ${}1+{\mathrm {i} }$ ist prim in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ .

b) Für ${}p=1\mod 4$ ist

${}p=(x+y{\mathrm {i} })(x-y{\mathrm {i} })\,,$

mit gewissen eindeutig bestimmten ${}x,y\in \mathbb {N} _{+}$ , wobei beide Faktoren prim sind.

c) Für ${}p=3\mod 4$ ist ${}p$ prim in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ .

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen