Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale

In reellen Zahlen gibt es den Betrag, um z.B. Konvergenz im Raum ausdrücken zu können. Mit dem Betrag kann man ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebungen definieren und die Folgenkonvergenz wird über diese ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebungen definiert. Ferner werden zu kreisförmigen Nullumgebungen ${\displaystyle U}$ Minkowski-Funktionale definiert, in Abhängigkeit von topologischen Eigenschaften der Menge bestimmte Eigenschaften der Minkowski-Funktionale liefert.

Die reellen Zahlen mit dem Betrag ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ist ein normierter Raum und ${\displaystyle (v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle v_{o}\in \mathbb {R} }$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }v_{n}=v_{o}\ :\Longleftrightarrow \ \forall _{\epsilon >0}\exists _{n_{\epsilon }\in \mathbb {N} }\forall _{n\geq n_{\epsilon }}\ :\ |v_{n}-v_{o}|<\epsilon }$

Analog definiert man die Konvergenz in normierten Räumen ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle (v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V^{\mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle v_{o}\in V}$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|}v_{n}=v_{o}\ :\Longleftrightarrow \ \forall _{\epsilon >0}\exists _{n_{\epsilon }\in \mathbb {N} }\forall _{n\geq n_{\epsilon }}\ :\ \|v_{n}-v_{o}\|<\epsilon }$

Die Betrag bzw. allgemeiner die Norm wird in ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$ auch zur Definition der ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebungen verwendet.

${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\|\cdot \|}(a):=\left\{x\in V\,:\,\|x-a\|<\varepsilon \right\}}$

Diese topologieerzeugenden Funktionale (Gaugefunktionale) werden für die Definition der Algebraerweiterungen benötigt, in den ein gegebenes ${\displaystyle z}$ ein inverses Element besitzt. Die Topologisierung der Potenzreihenalgebra erfolgt später mit Gaugefunktionalen (z.B. Halbnormen, ${\displaystyle p}$-Halbnormen, ...)

Die Gaugefunktionale werden über kreisförmige absorbierende Nullumgebungen definiert, für die dann das zugehörige Minkowskifunktional das zugehörige Gaugefunktional erzeugt. Die Grundlagen liefert die folgende Abschnitte.

Bei der Verwendung von Gaugefunktionalen werden die definierenden Eigenschaften einer Norm weiter verallgemeinert, um in analoger Weise topologieerzeugende Funktionale in beliebigen topologischen Algebren verwenden zu können. Dadurch wird es nicht mehr notwendig sein, z.B. Stetigkeit über die offene Mengen aus der Topologie zu beschreiben (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Sei ${\textstyle V}$ ein Vektorraum über ${\textstyle \mathbb {K} }$. Ein Funktional ${\textstyle f:V\longrightarrow \mathbb {K} }$ heißt ${\textstyle p}$-homogen, falls es ein ${\textstyle p\in \mathbb {K} }$ mit ${\textstyle 0<p\leq 1}$ gibt, für das gilt:

$${\displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V,\lambda \in \mathbb {K} }:f(\lambda \cdot x)=|\lambda |^{p}\cdot f(x)}$$

Ist ${\textstyle p=1}$, so heißt ${\textstyle f}$ homogen. ${\textstyle f}$ heißt nicht-negativ, falls für alle ${\textstyle x\in V}$ gilt ${\textstyle f(x)\geq 0}$.

Sei ${\textstyle V}$ ein Vektorraum über ${\textstyle \mathbb {K} }$. Ein nicht-negatives, ${\textstyle p}$-homogenes Funktional ${\textstyle f:V\longrightarrow \mathbb {K} }$ heißt ${\textstyle p}$-Gaugefunktional auf ${\textstyle V}$ und für ${\textstyle p=1}$ Gaugefunktional.

Sei ${\displaystyle 0<p\leq 1}$ und ${\displaystyle V_{p}:=\left\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\,:\,\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty {\mbox{ mit }}x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right\}}$, dann ist ${\displaystyle \|x\|_{p}:=\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}}$ ein ${\displaystyle p}$-Gaugefunktional auf ${\displaystyle V}$.

Gegeben ist der Vektorraum ${\displaystyle V_{p}}$ und das ${\displaystyle p}$-Gaugefunktional ${\displaystyle \|x\|_{p}:=\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}}$. Zeigen Sie, dass ${\displaystyle \left({\frac {1}{n^{2}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in V_{1}}$ aber ${\displaystyle \left({\frac {1}{n^{2}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\notin V_{\frac {1}{2}}}$. Welche Mengeninklusion gilt allgemein für ${\displaystyle V_{p}}$ und ${\displaystyle V_{q}}$ mit ${\displaystyle p<q}$ und ${\displaystyle p,q\in (0,1]}$?

Die ${\displaystyle p}$-Homogenität hat einerseits eine engen Zusammenhang zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren und das ${\displaystyle p\in (0,1]}$ bestimmt den Zusammenhang mit eine Quasihalbnorm.

Sei ${\textstyle V}$ ein Vektorraum über ${\textstyle \mathbb {K} }$, ${\textstyle I}$ eine Indexmenge und für alle ${\textstyle \alpha \in I}$ sei ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ ein ${\textstyle p}$-Gaugefunktional auf ${\textstyle V}$. Dann wird mit ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I}}$ die Menge aller ${\textstyle p}$-Gaugefunktionale mit Indizes aus ${\textstyle I}$ bezeichnet, d.h.

${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{I}:=\left\{\left\|\cdot \right\|_{\alpha }:\alpha \in I\right\}.}$

${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I}}$ heißt System von ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalen. Ist ${\displaystyle p=1}$ nennt man ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I}}$ Gaugefunktionalsystem.

Sei ${\textstyle V}$ ein Vektorraum über ${\textstyle \mathbb {K} }$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I_{1}}}$, ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I_{2}}}$ zwei ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalsysteme auf ${\displaystyle V}$. Die ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalsysteme ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I_{1}}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I_{2}}}$ heißen äquivalent, wenn folgende beiden Bedingungen gelten:

• (EQ1) ${\displaystyle \forall _{\alpha \in I_{1}}\exists _{\beta \in I_{2},C_{\beta }>0}\forall _{v\in V}:\,\,\|v\|_{\alpha }\leq C_{\beta }\cdot \|v\|_{\beta }}$
• (EQ2) ${\displaystyle \forall _{\beta \in I_{2}}\exists _{\alpha \in I_{1},C_{\alpha }>0}\forall _{v\in V}:\,\,\|v\|_{\beta }\leq C_{\alpha }\cdot \|v\|_{\alpha }}$

Sei ${\displaystyle p>0}$ und ${\displaystyle V:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ die Menge der stetigen Funktion von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Die Menge der ${\displaystyle p}$-Gaugefunktional wird mit ${\displaystyle \alpha \in I:=\mathbb {R} ^{+}}$ wie folgt definiert:

${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{I}:=\left\{\left\|\cdot \right\|_{\alpha }:\alpha \in I\right\}.}$

mit

${\displaystyle \left\|f\right\|_{\alpha }:=\int _{-\alpha }^{+\alpha }\left|f(x)\right|^{p}d\,x}$

Sei ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ auf ${\displaystyle V}$. Ferner sei ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I}}$ eine Menge von ${\textstyle p}$-Gaugefunktionalen auf ${\textstyle V}$. Das ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalsystem heißt basiserzeugend für ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, wenn gilt:

• (BE1) ${\displaystyle \forall _{x_{o}\in V}\forall _{\alpha \in I}\forall _{\varepsilon >0}:\,B_{\varepsilon }^{\alpha }(x_{o}):=\left\{x\in V\,:\,\left\|x-x_{o}\right\|_{\alpha }<\varepsilon \right\}\in {\mathcal {T}}}$
• (BE2) ${\displaystyle {\forall }_{U\in {\mathcal {T}}}\forall _{x_{o}\in U}\exists _{\alpha \in I,\varepsilon >0}:\,B_{\varepsilon }^{\alpha }(x_{o}):=\left\{x\in V\,:\,\left\|x-x_{o}\right\|_{\alpha }<\varepsilon \right\}\subseteq U}$

• (BE1) bedeutet dabei, dass die ${\displaystyle \varepsilon }$-Kugeln ${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\alpha }(v_{o})}$ selbst offene Mengen sind.
• Mit (BE2) lässt sich jede offene Menge ${\displaystyle U}$ aus der Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ als Vereinigung von ${\displaystyle \varepsilon }$-Kugeln darstellen. Da beliebige Vereinigungen von offenen Mengen in einem topologischen Raum nach Axiom (T3) auch wieder offen sein müssen, ist damit die Vereinigung von ${\displaystyle \varepsilon }$-Kugeln ${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\alpha }(v_{o})}$ mit ${\displaystyle \alpha \in I}$, ${\displaystyle v_{o}\in V}$ und ${\displaystyle \varepsilon >0}$ selbst wieder offen.

Sei ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ auf ${\displaystyle V}$. Ferner sei ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I}}$ eine Menge von ${\textstyle p}$-Gaugefunktionalen auf ${\textstyle V}$. Das ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalsystem heißt subbasiserzeugend für ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, wenn gilt mit ${\displaystyle \,B_{\varepsilon }^{\alpha }(v_{o}):=\left\{v\in V\,:\,\left\|x-x_{o}\right\|_{\alpha }<\varepsilon \right\}}$:

• (SE1) ${\displaystyle \forall _{v_{o}\in V}\forall _{\alpha \in I}\forall _{\varepsilon >0}:\,\,B_{\varepsilon }^{\alpha }(v_{o})\in {\mathcal {T}}}$
• (SE2) ${\displaystyle {\forall }_{U\in {\mathcal {T}}}\forall _{v_{o}\in U}\exists _{n\in \mathbb {N} }\exists _{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in I,\varepsilon >0}:\,B_{\varepsilon }^{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}(v_{o})\subseteq U}$

mit

${\displaystyle B_{\varepsilon }^{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}(v_{o}):=\left\{v\in V\,:\,\left\|x-x_{o}\right\|_{\alpha _{k}}<\varepsilon {\mbox{ für alle }}k\in \{1,\ldots ,n\}\right\}}$

Bei einem topologieerzeugenden ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalsystem vereinfacht (T2) man die Handhanbung von endlichen Schnitten offener Mengen in einer Topologie. (S2) muss daher endliche Schnitte der von Umgebungen berücksichtigen, indem man den Schnitt ${\displaystyle \varepsilon }$-Kugeln ${\displaystyle B_{\varepsilon _{1}}^{\alpha _{1}},\ldots ,B_{\varepsilon _{n}}^{\alpha _{n}}}$ durch die Bedingung

${\displaystyle \left\|x-x_{o}\right\|_{\alpha _{k}}<\varepsilon _{k}{\mbox{ für alle }}k\in \{1,\ldots ,n\}}$

mit ${\displaystyle \varepsilon :=\min\{\varepsilon _{k}>0\,:\,k\in \,\{1,\ldots ,n\}\,\}}$ verlangt.

Sei ${\textstyle (A,\left\|\cdot \right\|_{I})}$ eine unitale topologische Algebra über ${\textstyle \mathbb {K} }$ mit dem Einselement der Multiplikation ${\textstyle e_{A}\in A}$. Das ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I}}$ heißt unital positiv genau dann, wenn für alle ${\textstyle \alpha \in I}$ die Bedingung ${\textstyle \left\|e_{A}\right\|_{\alpha }>0}$.

Man kann ein ${\textstyle p}$-Gaugefunktionalsystem auf einer topologischen Algebra durch eine äquivalentes unital positives ${\textstyle p}$-Gaugefunktionalsystem ersetzen, indem man die Trennungseigenschaft eines Hausdorffraumes dazu verwendet, Minkowkifunktionale von kreisförmigen Nullumgebungen verwendet, die das Einselement nicht enthalten. Dann erhält man unmittelbar sogar ${\textstyle \left\|e_{A}\right\|_{\alpha }\geq 1}$, wenn ${\displaystyle e_{A}\notin U_{\alpha }}$ und ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }:=p_{U_{\alpha }}(x)}$ als Minkowski-Funktional der absorbiernden Nullumgebung ${\displaystyle U_{\alpha }}$ verwendet wird.

Der Begriff der Norm ist ein Spezialfall einer ${\displaystyle p}$-Norm mit ${\displaystyle p=1}$, die im folgenden definiert wird.

Sei ${\textstyle V}$ ein topologischer Vektorraum über dem Körper ${\textstyle \mathbb {K} }$. Ein Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|:V\longrightarrow \mathbb {K} }$ heißt Norm auf ${\textstyle V}$, falls ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ folgende Bedingungen erfüllt:

• (N1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V}:\left\|x\right\|\geq 0}$
• (N2) ${\textstyle \displaystyle \left\|x\right\|=0\Longrightarrow x=0}$
• (N3) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V,\lambda \in \mathbb {K} }:\left\|\lambda \cdot x\right\|=|\lambda |\cdot \left\|x\right\|}$
• (N4) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x,y\in V}:\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|}$

Sei ${\textstyle V}$ ein topologischer Vektorraum über dem Körper ${\textstyle \mathbb {K} }$. Ein Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|:V\longrightarrow \mathbb {K} }$ heißt Halbnorm auf ${\textstyle V}$, falls ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ folgende Bedingungen erfüllt:

• (H1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V}:\left\|x\right\|\geq 0}$
• (H2) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V,\lambda \in \mathbb {K} }:\left\|\lambda \cdot x\right\|=|\lambda |\cdot \left\|x\right\|}$
• (H3) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x,y\in V}:\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|}$

Falls (N2) in der Definition der Norm nicht gilt, erhält man eine ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ Halbnorm. (N2) sorgt für die Hausdorfeigenschaft in dem topologischen Vektorraum. Man kann mit der Norm die Punkte trennen, d.h. mit der Norm man messen, ob zwei Vektoren ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ sich unterscheiden, d.h. ${\displaystyle v_{1}\not =v_{2}}$ bzw. ${\displaystyle v_{1}-v_{2}\not =0_{V}}$ gilt.

Ein Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante ${\displaystyle C>0}$, wenn für alle ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ gilt:

${\displaystyle \left\|v_{1}\cdot v_{2}\right\|\leq C\cdot \left\|v_{1}\right\|\cdot \left\|v_{2}\right\|}$

${\displaystyle C}$ nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die Halbnorm ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ durch eine äquivalente Halbnorm ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{1}}$ersetzen, für die ${\displaystyle C=1}$ ist (siehe MLC-Regularität).

Sei ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ eine lokalkonvexe topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Halbnormensystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$ und eine submultiplikative Halbnorm mit Stetigkeitskonstante ${\displaystyle C>0}$ und ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ gegeben mit:

${\displaystyle \left\|v_{1}\cdot v_{2}\right\|_{\alpha }\leq C\cdot \left\|v_{1}\right\|_{\alpha }\cdot \left\|v_{2}\right\|_{\alpha },}$

dann gibt es eine äquivalente Halbnorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ mit

${\displaystyle \left\|v_{1}\cdot v_{2}\right\|_{\beta }\leq \left\|v_{1}\right\|_{\beta }\cdot \left\|v_{2}\right\|_{\beta },}$

Ist ${\displaystyle 0<C\leq 1}$ erhält die Submultiplikativität direkt mit

${\displaystyle \left\|v_{1}\cdot v_{2}\right\|_{\alpha }\leq C\cdot \left\|v_{1}\right\|_{\alpha }\cdot \left\|v_{2}\right\|_{\alpha }\leq \left\|v_{1}\right\|_{\alpha }\cdot \left\|v_{2}\right\|_{\alpha }}$

Gilt nun ${\displaystyle C>1}$, so definiert man für alle ${\displaystyle v\in A}$:

${\displaystyle \left\|v\right\|_{\beta }:=C\cdot \left\|v\right\|_{\alpha }}$

und man erhält die Submultiplikativität über:

${\displaystyle \left\|v_{1}\cdot v_{2}\right\|_{\beta }\leq C\cdot \left\|v_{1}\cdot v_{2}\right\|_{\alpha }\leq C^{2}\cdot \left\|v_{2}\right\|_{\alpha }\cdot \left\|v_{2}\right\|_{\alpha }=\left\|v_{1}\right\|_{\beta }\cdot \left\|v_{2}\right\|_{\beta }}$

Die Äquivalenz der Halbnormen erhält man unmittelbar aus der Definition mit ${\displaystyle C>1}$, denn es gilt:

${\displaystyle C\cdot \left\|v\right\|_{\alpha }=\left\|v\right\|_{\beta }}$

Ist eine topologische Algebra ein normierter Raum, so kann man im Allgemeinen nur sagen, dass die Submultiplikativität der Halbnorm mit einer bestimmten Stetigkeitskonstante der Multiplikation erfüllt, da die ${\displaystyle \varepsilon }$-Kugeln um den Nullvektor eine Nullumgebungsbasis erzeugen. Das Lemma zeigt, dass man ohne Einschränkung eine Halbnorm mit Stetigkeitskonstante auch durch eine äquivalente submultiplikative Halbnorm ersetzen kann. Das Vorgehen kann man analog für lokalbeschränkte Räume übernehmen.

Sei ${\textstyle V}$ ein Vektorraum über dem Körper ${\textstyle \mathbb {K} }$ und ${\displaystyle 0<p\leq 1}$. Ein Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|:V\longrightarrow \mathbb {K} }$ heißt ${\textstyle p}$-Norm auf ${\textstyle V}$, falls ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ folgende Bedingungen erfüllt:

• (PN1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V}:\left\|x\right\|\geq 0}$
• (PN2) ${\textstyle \displaystyle \left\|x\right\|=0\Longrightarrow x=0}$
• (PN3) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V,\lambda \in \mathbb {K} }:\left\|\lambda \cdot x\right\|=|\lambda |^{p}\cdot \left\|x\right\|}$
• (PN4) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x,y\in V}:\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|}$

Für ${\displaystyle p\geq 1}$ kann man ein ${\displaystyle p}$-Norm auch zu einer Norm machen, indem man die Norm ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\ast }}$ wie folgt definert:

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\ast }:=\left\|x\right\|^{\frac {1}{p}}}$

Sei ${\displaystyle p\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle 0<p<1}$ und betrachtet man die Mengen der ${\displaystyle p}$-summierbaren Reihen ${\displaystyle a:=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ in den reellen Zahlen.

${\displaystyle \ell _{p}(\mathbb {R} ):=\left\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\ :\ \|a\|_{p}:=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}<\infty \right\}}$

${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ist eine ${\displaystyle p}$-Norm auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle \ell _{p}(\mathbb {R} )}$.

Sei ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ heißt ${\textstyle p}$-normierbar oder lokal beschränkt mit der Konkavitätskonstante ${\displaystyle p}$, falls eine ${\textstyle p}$-Norm

${\textstyle \left\|\cdot \right\|:V\longrightarrow \mathbb {K} }$,

existiert, die die Topologie auf ${\textstyle V}$ erzeugt (formal ${\textstyle (V,\left\|\cdot \right\|)\in {\mathcal {P}}}$).

Sei ${\textstyle V}$ ein topologischer Vektorraum über dem Körper ${\textstyle \mathbb {K} }$ und ${\displaystyle 0<p\leq 1}$. Ein Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|:V\longrightarrow \mathbb {K} }$ heißt ${\displaystyle p}$-Halbnorm auf ${\textstyle V}$ mit ${\textstyle p}$ als Konkavitätskonstante., falls ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ folgende Bedingungen erfüllt:

• (PH1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V}:\left\|x\right\|\geq 0}$
• (PH2) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V,\lambda \in \mathbb {K} }:\left\|\lambda \cdot x\right\|=|\lambda |^{p}\cdot \left\|x\right\|}$
• (PH3) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x,y\in V}:\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|}$

Falls (PN2) in der Definition der ${\displaystyle p}$-Norm nicht gilt, heißt ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ ${\textstyle p}$-Halbnorm mit ${\textstyle p}$ als Konkavitätskonstante. Analog zur Halbnorm kann eine einzelne ${\textstyle p}$-Halbnorm nicht die Punkte im topologischen Vektorraum trennen (Hausdorfeigenschaft T2).

Ein ${\displaystyle p}$-Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante ${\displaystyle C>0}$, wenn für alle ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ gilt:

${\displaystyle \left\|v_{1}\cdot v_{2}\right\|\leq C\cdot \left\|v_{1}\right\|\cdot \left\|v_{2}\right\|}$

${\displaystyle C}$ nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die${\displaystyle p}$- Halbnorm ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ durch eine äquivalente ${\displaystyle p}$-Halbnorm ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{1}}$ersetzen, für die ${\displaystyle C=1}$ ist (siehe MPC-Regularität).

Sei ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ heißt pseudokonvex, falls die Topologie ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ durch ein System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ von ${\textstyle p}$-Halbnormen erzeugt wird, das die folgenden Eigenschaften besitzt.

${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }:V\longrightarrow \mathbb {K} {\mbox{ ist }}p_{\alpha }{\mbox{-homogen mit }}\alpha \in {\mathcal {A}}{\mbox{ und }}p_{\alpha }\in (0,1]}$,

Formal notiert man ${\textstyle (V,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}})\in {\mathcal {PC}}}$.

Eine ${\textstyle p}$-Norm ist topologieerzeugend für die Topologie ${\textstyle {\mathcal {T}}\subseteq \wp (V)}$, wenn die folgende Bedingung gilt:

${\displaystyle {\forall }_{U\in {\mathcal {T}}}\forall _{v_{o}\in U}\exists _{\varepsilon >0}:\,B_{\varepsilon }^{\left\|\cdot \right\|}(v_{o}):=\left\{v\in V\,:\,\left\|x-x_{o}\right\|<\varepsilon \right\}}$

Die ${\textstyle \varepsilon }$-Kugeln werden im weiteren Verlauf für die Charakterisierung der Stetigkeit verwendet.

Sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ ein ${\displaystyle p}$-Gaugefunktional auf ${\textstyle V}$, dann ist die ${\textstyle \varepsilon }$-Kugel von ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ mit ${\textstyle \varepsilon >0}$ um einen Punkt ${\textstyle v\in V}$ (Bezeichnung: ${\textstyle {\mathrm {B} }_{\varepsilon }^{\alpha }(v)}$) wie folgt definiert:

${\displaystyle {\mathrm {B} }_{\varepsilon }^{\alpha }(v):=\{z\in V\,:\,\left\|z-v\right\|_{\alpha }<\varepsilon \}}$

Sei ${\textstyle V}$ ein topologischer Vektorraum über dem Körper ${\textstyle \mathbb {K} }$. Ein Funktional

${\displaystyle \left\|\cdot \right\|:V\longrightarrow \mathbb {K} }$

heißt Quasinorm auf ${\textstyle V}$, falls ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$ folgende Bedingungen erfüllt:

• (QN1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V}:\left\|x\right\|\geq 0}$
• (QN2) ${\textstyle \displaystyle \left\|x\right\|=0\Longrightarrow x=0}$
• (QN3) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V,\lambda \in \mathbb {K} }:\left\|\lambda \cdot x\right\|=|\lambda |\cdot \left\|x\right\|}$
• (QN4) ${\textstyle \displaystyle \exists _{\displaystyle K>0}\forall _{\displaystyle x,y\in V}:\left\|x+y\right\|\leq K\cdot \left(\left\|x\right\|+\left\|y\right\|\right)}$

Ein Funktional ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|:V\longrightarrow \mathbb {K} }$ auf einem Vektorraum ${\textstyle V}$ über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ heißt Quasihalbnorm mit Stetigkeitskonstante der Addition ${\displaystyle K\geq 1}$, falls ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$ die folgende Bedingungen erfüllt:

• (QH1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V}:\left\|x\right\|\geq 0}$
• (QH2) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle x\in V,\lambda \in \mathbb {K} }:\left\|\lambda \cdot x\right\|=|\lambda |\cdot \left\|x\right\|}$
• (QH3) ${\textstyle \displaystyle \exists _{\displaystyle K>0}\forall _{\displaystyle x,y\in V}:\left\|x+y\right\|\leq K\cdot \left(\left\|x\right\|+\left\|y\right\|\right)}$

Analog zu Halbnormen und Normen bzw. ${\displaystyle p}$-Normen und ${\displaystyle p}$-Halbnormen wird eine Quasinorm zu einer Quasihalbnorm ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ mit Stetigkeitskonstante ${\textstyle K}$ der Addition, falls (QN2) nicht mehr gilt.

Die Stetigkeitskonstante hängt mit der Konkavitätskonstante einer ${\displaystyle p}$-Norm bzw. ${\displaystyle p}$-Halbnorm zusammen. Dies zeigt das Korrespondenzlemma für ${\displaystyle p}$-Halbnormen

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ eine topologischer Raum, ${\displaystyle x_{0}\in X}$ und ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\in X_{I}}$ ein Netz in ${\displaystyle X}$ mit einer Indexmenge ${\displaystyle I}$, die nach oben gerichtet ist und eine partielle Ordnung besitzt. Die Konvergenz über Netze wird wie folgt definiert:

${\displaystyle {\stackrel {\mathcal {T}}{\lim _{i\to \infty }}}x_{i}\,:\Longleftrightarrow \,(x_{i})_{i\in I}{\stackrel {\mathcal {T}}{\longrightarrow }}x_{0}\,:\Longleftrightarrow \,\forall _{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x_{0})}\exists _{i_{U}\in I}\forall _{i\geq i_{U}}:\,x_{i}\in U}$

Die Unterscheidung nach Algebrenklassen ist für die Untersuchung von permanent singulären Elemente wesentlich, da die Invertierbarkeit in einer Algebraerweiterung von der Klasse ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ abhängt.

Sei ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ eine Klasse topologischer Algebren und ${\textstyle \mathbb {K} }$ ein Körper, dann werden mit folgenden Symbolen Teilklassen topologischer Algebren bezeichnet:

• ${\textstyle {\mathcal {K}}_{e}}$ Klasse der unitalen Algebren in ${\textstyle {\mathcal {K}}}$;
• ${\textstyle {\mathcal {K}}^{k}}$ Klasse der kommutativen Algebren in ${\textstyle {\mathcal {K}}}$, "kommutativ" bezieht sich auf die Multiplikation in den Algebren.
• ${\textstyle {\mathcal {K}}(\mathbb {K} )}$ Klasse der topologischen Algebren über ${\textstyle \mathbb {K} }$ in ${\textstyle {\mathcal {K}}}$;

• ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ Klasse aller topologischen Algebren;
• ${\textstyle {\mathcal {B}}}$ Klasse aller Banachalgebren (vollständig, normiert);
• ${\textstyle {\mathcal {LC}}}$ Klasse der lokalkonvexen Algebren; d.h. Topologie durch ein System von Halbnormen erzeugt;
• ${\textstyle {\mathcal {MLC}}}$ Klasse der multiplikativ lokalkonvexen Algebren;

• ${\textstyle {\mathcal {P}}}$ Klasse der ${\textstyle p}$-normierbaren Algebren bzw. lokal beschränkten Algebren;
• ${\textstyle {\mathcal {PC}}}$ Klasse der pseudokonvexen Algebren; & d.h. Topologie durch ein System von ${\textstyle p}$-Halbnormen erzeugt;
• ${\textstyle {\mathcal {MPC}}}$ Klasse der multiplikativ pseudokonvexen Algebren.

Für pseudokonvexe Algebren kann das ${\textstyle {\mathcal {PC}}}$-System auch aus den entsprechenden Quasihalbnormen bestehen. Mit dem Korrespondenzsatz für ${\displaystyle p}$-Halbnormen wird der Zusammenhang von ${\textstyle p}$-Halbnormen und Quasihalbnormen erläutert. Ferner müssen nicht alle ${\textstyle p}$-Halbnormen ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ die gleiche Konkavitätskonstante (siehe Definition Gaugefunktional) ${\textstyle 0<p_{\alpha }\leq 1}$ besitzen, d.h. für ${\textstyle p_{\alpha }}$ gilt

$${\displaystyle |\lambda |^{p_{\alpha }}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }=\left\|\lambda \cdot x\right\|_{\alpha }{\mbox{ für alle }}x\in A{\mbox{ und }}\lambda \in \mathbb {K} .}$$

Zeichnen Sie die ${\displaystyle \varepsilon }$-Kugel in ${\displaystyle V:=\mathbb {R} ^{2}}$ mit ${\displaystyle p\geq 1}$ und

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\left\|\cdot \right\|_{p}:&\mathbb {R} ^{2}&\rightarrow &\mathbb {R} _{o}^{+}\\&x&\mapsto &\left\|\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)\right\|_{p}:={\sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}}}\end{array}}}$

Zeichnen Sie den Rand der ${\displaystyle \varepsilon }$-Kugeln ${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\left\|\cdot \right\|_{p}}\left(x\right)}$ bzgl. der Norm ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{p}}$ mit

• ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ und ${\displaystyle x=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right)}$
• ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ und ${\displaystyle x=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right)}$

Zeichnen Sie die ${\displaystyle \varepsilon }$-Kugel in ${\displaystyle V:=\mathbb {R} ^{2}}$ mit ${\displaystyle p\leq 1}$ und

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\left\|\cdot \right\|_{p}:&\mathbb {R} ^{2}&\rightarrow &\mathbb {R} _{o}^{+}\\&x&\mapsto &\left\|\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)\right\|_{p}:=|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}\end{array}}}$

Zeichnen Sie den Rand der ${\displaystyle \varepsilon }$-Kugeln ${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\left\|\cdot \right\|_{p}}\left(x\right)}$ bzgl. der Norm ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{p}}$ mit

• ${\displaystyle p={\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ und ${\displaystyle x=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right)}$
• ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ und ${\displaystyle x=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right)}$

• Netze (Mathematik)
• Normen, Metriken, Topologie
• Korrespondenzlemma für ${\displaystyle p}$-Halbnormen
• Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen
• Stetigkeitssequenz
• MLC-Regularität
• MPC-Regularität
• LC-Regularität
• PC-Regularität

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