Gebiet/Differentialform/Auswertung/Komplex/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$ ein Gebiet. Zeige, dass ein Komplex

${\displaystyle 0{\stackrel {}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }{\stackrel {}{\longrightarrow }}\Gamma (U,{\mathcal {O}}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Gamma (U,\Omega ){\stackrel {\text{Ev}}{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}{\stackrel {}{\longrightarrow }}0}$

vorliegt, und zeige, dass dieser exakt ist, wobei die Evaluationsabbildung eine holomorphe Differentialform ${\displaystyle {}\omega }$ auf die Abbildung ${\displaystyle {}\gamma \mapsto \int _{\gamma }\omega }$ abbildet.