Gebiet/Holomorphe Einheit/Windungszahl/Homologie/Auswertung/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$ ein Gebiet, ${\displaystyle {}P\in U}$ ein Punkt und sei ${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }}$ eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Zeige, dass

${\displaystyle \pi _{1}(U,P)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,\gamma \longmapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0),}$

ein Gruppenhomomorphismus ist, und dass dieser einen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \Theta _{f}\colon H_{1}(U,\mathbb {Z} )\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,\gamma \longmapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0),}$

definiert.