Gebrochen-lineare Funktion/Kreisrand auf Kreisrand/Charakterisierung/Aufgabe/Lösung

Die Bedingung besagt

${\displaystyle {}\vert {\frac {az+b}{cz+d}}\vert =1\,}$

für alle ${\displaystyle {}z}$ mit ${\displaystyle {}z=1}$. Dies bedeutet insbesondere

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {az+b}\vert ^{2}&={\left(az+b\right)}{\overline {az+b}}\\&=a{\overline {a}}+b{\overline {b}}+a{\overline {b}}z+{\overline {a}}b{\overline {z}}\\&=c{\overline {c}}+d{\overline {d}}+c{\overline {d}}z+{\overline {c}}d{\overline {z}}\\&=\vert {cz+d}\vert ^{2}.\end{aligned}}}$

Daraus folgt

${\displaystyle {}a{\overline {a}}+b{\overline {b}}=c{\overline {c}}+d{\overline {d}}\,}$

bzw.

${\displaystyle {}\vert {a}\vert ^{2}+\vert {b}\vert ^{2}=\vert {c}\vert ^{2}+\vert {d}\vert ^{2}\,}$

und

${\displaystyle {}a{\overline {b}}=c{\overline {d}}\,}$

(da die Funktionen ${\displaystyle {}1,z,{\overline {z}}}$ auf dem Rand linear unabhängig sind). Es ist ${\displaystyle {}a\neq 0}$, denn sonst wäre auch ${\displaystyle {}c=0}$ und es würde eine konstante Funktion vorliegen. Wir kürzen mit ${\displaystyle {}a^{-1}}$, das ändert nach Fakt die gebrochen lineare Funktion nicht, und bleiben bei der Bezeichnung für die drei anderen Koeffizienten. Mit ${\displaystyle {}r=\vert {b}\vert ^{2}}$, ${\displaystyle {}s=\vert {c}\vert ^{2}}$, ${\displaystyle {}t=\vert {d}\vert ^{2}}$ haben wir die Bedingungen

${\displaystyle {}1+r=s+t\,}$

und

${\displaystyle {}r=st\,,}$

also

${\displaystyle {}1+st=s+t\,}$

bzw.

${\displaystyle {}(1-s)(1-t)=0\,.}$

Daraus folgt ${\displaystyle {}s=1}$ (und ${\displaystyle {}t=r}$) oder ${\displaystyle {}t=1}$ (und ${\displaystyle {}s=r}$). Betrachten wir den Fall ${\displaystyle {}s=1}$, dann ist der Betrag von ${\displaystyle {}c}$ gleich ${\displaystyle {}1}$. Durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}c}$ können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form

${\displaystyle c\cdot {\frac {z+b}{z+d}}}$

besitzt. Die Bedingung wird dann zu ${\displaystyle {}b=d}$, und es liegt eine konstante, also keine gebrochen lineare Funktion vor. Betrachten wir den Fall ${\displaystyle {}t=1}$, dann ist der Betrag von ${\displaystyle {}d}$ gleich ${\displaystyle {}1}$. Durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}d}$ können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form

${\displaystyle d\cdot {\frac {z+b}{cz+1}}}$

besitzt. Die Bedingung wird dann zu

${\displaystyle {}b={\overline {c}}\,,}$

die Abbildung hat also die Form

${\displaystyle \alpha \cdot {\frac {z+\beta }{{\overline {\beta }}z+1}}}$

mit einer komplexen Zahl ${\displaystyle {}\alpha }$ vom Betrag ${\displaystyle {}1}$. Bei

${\displaystyle {}\vert {\beta }\vert =1\,}$

${\displaystyle {}\beta }$