Invariantenring der geordneten Dreiecke
Die
orthogonale Gruppe 
(der Drehungen und der Drehspiegelungen)
operiere linear und
simultan auf dem
-
Dann ist der
Invariantenring
der zugehörigen Operation auf dem Polynomring ![{\displaystyle {}\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]}](../../../_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5c26a255a0673acbf22ae83813bdf9a75e5e421.svg)
gleich
-
![{\displaystyle \mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}]\,.}](../../../_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a33d76edcdd59567a10c8864ffb9d2d6e457c7de.svg)
Die drei Erzeuger sind dabei
algebraisch unabhängig.
Jede polynomiale Invariante eines
(nummerierten)
Dreieckes lässt sich polynomial in den drei Seitenquadraten ausdrücken.