Gewöhnliche Differentialgleichungen/Konstante Richtung/1/Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=g(t,x,y){\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,}$

mit

${\displaystyle {}g(t,x,y)=t(x+y)\,}$

und dem Anfangsvektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle {}t=0}$. Gemäß Fakt müssen wir nach einer Lösung des eindimensionalen Anfangswertproblems

${\displaystyle {}z'=h(t,z):=t(2+3z+5+z)=t(4z+7)=4tz+7t\,}$

mit ${\displaystyle {}z(0)=0}$ suchen. Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung, die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ist ${\displaystyle {}e^{2t^{2}}}$ und die Lösungen sind

${\displaystyle -{\frac {7}{4}}+ce^{2t^{2}}.}$

Um das Anfangswertproblem zu lösen muss man ${\displaystyle {}c={\frac {7}{4}}}$ nehmen. Deshalb ist

${\displaystyle {}\gamma (t)={\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}+{\left(-{\frac {7}{4}}+{\frac {7}{4}}e^{2t^{2}}\right)}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,}$

die Lösung des Anfangwertproblems.