Gleichseitiges Dreieck/Umkreisradius und Inkreisradius/Verhältnis/Aufgabe/Lösung

Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks sei ${\displaystyle {}1}$. Die Höhe ist

${\displaystyle {}{\sqrt {1^{2}-{\frac {1}{2^{2}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.}$

Der Schwerpunkt ist der Umkreismittelpunkt und der Inkreismittelpunkt. Da der Schwerpunkt die Seitenhalbierende im Verhältnis ${\displaystyle {}2:1}$ schneidet, ist der Umkreisradius gleich ${\displaystyle {}{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$. Entsprechend ist der Inkreisradius gleich ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$, und somit ist ihr Verhältnis gleich ${\displaystyle {}2:1}$.