Graph einer Funktion

Sei ${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {W} }$ eine Funktion mit dem Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {D} }$ und dem Wertebereich ${\displaystyle \mathbb {W} }$, dann ist der ${\displaystyle Graph(f)}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {D} \times \mathbb {W} }$, die wie folgt definiert ist:

${\displaystyle Graph(f):=\left\{(x,y)\in \mathbb {D} \times \mathbb {W} \,:\,f(x)=y\right\}}$

Für die Definition einer Funktion sind 3 Elemente zu definieren:

• Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {D} :=\mathbb {R} }$
• Wertebereich ${\displaystyle \mathbb {W} :=\mathbb {R} }$
• Abbildungsvorschrift ${\displaystyle f(x)=x^{2}-1}$

In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten.

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}f:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &f(x)=x^{2}-1\end{array}}}$

Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {D} \times \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{2}}$ mit:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}Graph(f)&:=&\left\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,:\,f(x)=y=x^{2}-1\right\}\\&=&\left\{(x,f(x))\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,:\,f(x)=x^{2}-1\right\}\\&=&\left\{(x,x^{2}-1)\,:\,x\in \mathbb {R} \right\}\\\end{array}}}$

In der Abbildung rechts ist der ${\displaystyle Graph(f)}$ die rot markierte Punktmenge im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Für die Definition einer Funktion sind 3 Elemente zu definieren:

• Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {D} :=\mathbb {R} ^{2}}$
• Wertebereich ${\displaystyle \mathbb {W} :=\mathbb {R} }$
• Abbildungsvorschrift ${\displaystyle f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right)}$

In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten.

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}f:&\mathbb {R} ^{2}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right)\end{array}}}$

Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {D} \times \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{3}}$ mit:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}Graph(f)&:=&\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,z=f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right)\right\}\\&=&\left\{(x,y,f(x,y))\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,:\,f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right)\right\}\\&=&\left\{{\bigg (}x,y,\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right){\bigg )}\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}\\\end{array}}}$

Die folgende Funktion ist eine Kurve im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ mit einem Interval als Defintionsbereich. Der Wertebereich ist in diesem Beispiel zweidimensional gewählt, damit der Graph der Funktion als Teilmenge vom ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ in einem 3D-Plot dargestellt werden kann.

• Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {D} :=[0,6\pi ]\subset \mathbb {R} }$
• Wertebereich ${\displaystyle \mathbb {W} :=\mathbb {R} ^{2}}$
• Abbildungsvorschrift ${\displaystyle f(t)=(cos(t),sin(t))}$

In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten.

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}f:&[0,6\pi ]&\rightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\&t&\mapsto &f(t)=(cos(t),sin(t))\end{array}}}$

Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {D} \times \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{3}}$ mit:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}Graph(f)&:=&\left\{(t,x,y)\in [0,6\pi ]\times \mathbb {R} ^{2}\,:\,(x,y):=f(t)=(cos(t),sin(t))\right\}\\&=&\left\{(t,f(t))\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\,:\,\in [0,6\pi ]\wedge f(t)=(cos(t),sin(t))\right\}\\&=&\left\{{\bigg (}t,\cos(t),\sin(t){\bigg )}\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,t\in [0,6\pi ]\subset \mathbb {R} \right\}\\\end{array}}}$

Unterschied - Spur - Graph

Spur	Graph
Spur der Funktion ${\displaystyle f(t)=(cos(t),sin(t))}$ ist der Einheitskreis im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	Graph der Funktion ${\displaystyle f(t):=(cos(t)sin(t))}$ mit dem Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {D} :=[0,6\pi ]}$

Die Spur ${\displaystyle Spur(f)}$ einer Kurve ${\displaystyle f}$ ist die Bildmenge der Funktion ${\displaystyle f}$.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}Spur(f)&=&\left\{f(t)\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,t\in [0,6\pi ]\right\}\\&=&\left\{{\big (}\cos(t),\sin(t){\big )}\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,t\in [0,2\pi ]\right\}\\Graph(f)&=&\left\{{\bigg (}t,\cos(t),\sin(t){\bigg )}\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,t\in [0,6\pi ]\subset \mathbb {R} \right\}\\\end{array}}}$

Wenn man ${\displaystyle t}$ als Zeitpunkt interpretiert enthält der Graph das Argument ${\displaystyle t}$ der Funktion. Dadurch kann man mit dem Graphen rekonstruieren, an welchem Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ die Funktion ${\displaystyle f}$ auf den "Ort" ${\displaystyle f(t)\in \mathbb {R} ^{2}}$ abgebildet hat. Mit der Spur der Funktion ${\displaystyle f}$ kann man lediglich feststellen, ob der Bildpunkt ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ als Bildpunkt der Funktion ${\displaystyle f}$ aufgetreten ist.

• Funktionsgraph
• Funktionen
• Wahrscheinlichkeitsdichte - Graph der Dichte